Gimė1910 metais Skriaudžiuose dabartiniame Prienų rajone. Lietuvos nusipelnęs treneris. 1931 m. baigė Kauno S.Daukanto mokytojų seminariją. Buvo muzikalus nuo vaikystės. Kankliuoti išmoko, būdamas septynerių metų iš savo tėvo Prano Puskunigio.
P. Puskunigis 1935 metais pasiekė ieties metimo naują Lietuvos rekordą – 61,5 m., kelissyk tapo Pabaltijo valstybių varžybų prizininku. 1936 m. baigė Aukštuosius kūno kultūros kursus.
1937m., viešėdamas už Atlanto, dvejose varžybose laimėjo tris metimų rungtis, o su Lietuvos krepšininkais du kartus įveikė JAV lietuvių rinktinę. 1938 m. tapo Tarptautinės olimpiados sidabro medalininku. Po karo dirbo Valstybiniame kūno kultūros institute vyresniuoju dėstytoju, lengvaatlečių treneriu. Iki 1943m. vadovavo Marijampolės sporto apygardai.
L. Puskunigis 1943-1945 metais kalėjo Štuthofo koncentracijos stovykloje. Čia sukūrė pirmuosius savo kūrinius: Štuthofo Kalėdų ir Gavėnios giesmes „Varpai giedokit“ ir „Prailgo dienos“ Stasio Ylos žodžiais. Jo parašyti kūriniai saugomi Čikagoje, Balzeko lietuvių kultūros muziejuje. L. Puskunigio treniruota ieties metikė Birutė Kalėdienė, 1958 m. iš Lietuvos lengvaatlečių tapo pirmąją Pasaulio rekordininke. Sulaukęs pensijos, grįžo gyventi į tėvų sodybą Skriaudžiuose.
1978-1979 m. L. Puskunigis vadovavo Skriaudžių kanklininkų ansambliui. Ansamblio repertuarą papildė savo tėvo kūryba, bei paties sukurtais kūrinėliais kanklėms. Populiariausi jo kūriniai – „Kanklių sakmė“, „Virsi aržuolėli“ ir kiti – dar ir šiandien skamba ansamblio koncertuose.
Jo kankliavimas pasižymėjo gana laisva maniera. Ypač tai išryškėdavo, kai dainuodamas pats sau pritardavo plačios faktūros akordais, su gausiais mišriojo kankliavimo elementais. Frazių ar dainos posmų pabaigose jis nevengdavo stygas užgauti atgaliniu judesiu, tai yra aukštųjų stygų kryptimi.
Vėlyvaisiais savo gyvenimo metais parašė leidinėlį „Senovinių kanklių sutarai“, kuriame įamžino kūrinėlius, kankliuotus vaikystėje, apžvelgė ir plačiai komentavo savo tėvo P.Puskunigio gyvenimą ir kūrybinį palikimą.
L. Puskunigis daug laiko skyrė kanklių ir jų muzikos propagavimui. Jis lankydavosi mokyklose, supažindindavo vaikus su kanklių istorija, rodydavo savo tėvo dar 1914m. pagamintas kankles. Dažnai pas jį užsukdavo žmonės, kuriems brangi lietuviška muzika, tremties prisiminimai. Čia, jo namelyje, galėjo rasti nemažą ekspoziciją iš Štuthofo koncentracijos stovyklos, tėvo nuotraukų, išgirsti pasakojimų apie žymųjį kanklininką gyvenusį ir dirbusį šiame namelyje.
L. Puskunigis iki pat gyvenimo pabaigos neprarado ryšio su ,,Kanklių” ansambliu. Ypač daug jausmų ir sveikatos paaukojo paskutiniam koncertui, kuriame jis dalyvavo 1994 m. birželio mėnesį, skirtame Tėvo dienai pažymėti.
Leonas Puskunigis mirė 1994 m. Palaidotas greta tėvų, Skriaudžių kapinėse.
Onutė Patronaitienė
Vytautas Alenskas